Добрый день! так как квартира была куплена в период брака, то Вам полагается половина от нее, несмотря на то что квартира оформлена только на мужа.
Детей оставят с Вами, более того назначат алименты не только на детей, но и на Вас, так как Вы находитесь в отпуске по уходу за детьми, а следовательно не моете самостоятельно работать.
С соответствующим заявлением нужно обращаться в мировой суд по месту жительства.
По Вашему заявлению, да. По заявлению мужа только если ребенку более 1 года.