Кристина, получить статус беженца можно в порядке, предусмотренном Федеральным законом от 19.02.1993 № 4528-I "О беженцах" как лицам, которые не являются гражданами Российской Федерации и которые в силу вполне обоснованных опасений стать жертвой преследований по признаку расы, вероисповедания, гражданства, национальности, принадлежности к определенной социальной группе или политических убеждений находятся вне страны своей гражданской принадлежности и не могут пользоваться защитой этой страны или не желают пользоваться такой защитой вследствие таких опасений.
Учитывая внешнеполитические отношения Российской Федерации и Украины, думаю, что это вполне возможно. Процедура подробно прописана в этом законе.
Что касается получения гражданства - тут все сложнее. Получить его "максимально быстро" не получится. Порядок приема в гражданство в общем порядке установлен статьей 13 Федерального закона от 31.05.2002 № 62-ФЗ "О гражданстве Российской Федерации":
иностранные граждане и лица без гражданства, достигшие возраста восемнадцати лет и обладающие дееспособностью, вправе обратиться с заявлениями о приеме в гражданство Российской Федерации в общем порядке при условии, если указанные граждане и лица:
а) проживают на территории Российской Федерации со дня получения вида на жительство и до дня обращения с заявлениями о приеме в гражданство Российской Федерации в течение пяти лет непрерывно, за исключением случаев, предусмотренных частью второй настоящей статьи. Срок проживания на территории Российской Федерации считается непрерывным, если лицо выезжало за пределы Российской Федерации не более чем на три месяца в течение одного года. Срок проживания на территории Российской Федерации для лиц, прибывших в Российскую Федерацию до 1 июля 2002 года и не имеющих вида на жительство, исчисляется со дня регистрации по месту жительства;
б) обязуются соблюдать Конституцию Российской Федерации и законодательство Российской Федерации;
в) имеют законный источник средств к существованию;
г) обратились в полномочный орган иностранного государства с заявлениями об отказе от имеющегося у них иного гражданства. Отказ от иного гражданства не требуется, если это предусмотрено международным договором Российской Федерации или настоящим Федеральным законом либо если отказ от иного гражданства невозможен в силу не зависящих от лица причин;
д) владеют русским языком; порядок определения уровня знаний русского языка устанавливается положением о порядке рассмотрения вопросов гражданства Российской Федерации.
Срок проживания на территории Российской Федерации, установленный пунктом "а" части первой настоящей статьи, сокращается до одного года, в случае признания лица беженцем в порядке, установленном федеральным законом (Ваш случай).
3. Лицо, имеющее особые заслуги перед Российской Федерацией, может быть принято в гражданство Российской Федерации без соблюдения условий, предусмотренных частью первой настоящей статьи.
4. Граждане государств, входивших в состав СССР, проходящие не менее трех лет военную службу по контракту в Вооруженных Силах Российской Федерации, других войсках или воинских формированиях, вправе обратиться с заявлениями о приеме в гражданство Российской Федерации без соблюдения условий, предусмотренных пунктом "а" части первой настоящей статьи, и без представления вида на жительство.

То есть сначала - статус беженца, затем вид на жительство, затем - год непрерывного проживания в РФ и потом уже - гражданство.
Процедура довольно сложная, в двух словах не опишешь.

Если нужна помощь, пишите - hurtov@yandex.com.
Удачи!