Если гражданин работает по совместительству в нескольких организациях, то врач обязан выдать ему нужное количество больничных листов. Больничный лист обладает двумя функциями:

во – первых – это финансовый документ, на основании которого, ему выплачивается пособие;
во – вторых, подтверждает факт отсутствия человека на рабочем месте.
Как Вы видите, это Ваше право, а не обязанность. Вы можете уходить на больничный, можете не уходить. На вопрос о том как он будет оплачиваться я Вам ответить не смогу, поскольку порядок и размер определяется локальными актами, он может зависеть от Вашего стажа, от выплаты заработной платы и пр.