Поскольку трудовое законодательство не предусматривает возможность продления срочного трудового договора (за исключением отдельных категорий работников: ст. ст. 261, 332, 348.4 ТК РФ) с другой - оно не содержит запрета на изменение условий трудового договора, в том числе в отношении срока трудового договора, на который он заключен (путем заключения соглашения об изменении условия о сроке трудового договора), поэтому вопрос о продлении срока является весьма спорным. Таким образом правильно будет уволить работника в связи с истечением срока трудового договора (издать соответствующий приказ и внести запись в трудовую книжку) и затем заново принять этого работника на новый срок (снова издать приказ о приеме на работу на определенный срок и внести запись в трудовую книжку).